Définition

\(\triangleright\) Définition d'une force conservative

Une force conservative est une force dont le Travail ne dépend pas du chemin emprunté.
Mathématiquement:
$$W_{F}=\oint\vec F.\vec dl=0$$
Avec:

• \(\vec F\): une force conservative
• \(\vec dl\): le déplacement élémentaire

Caractéristiques

Le Travail d'une force conservative ne dépend que des positions initaile et finale (non du chemin)
Dans ce cas, le travail exercé sur une boucle fermée =0
Démonstration (travail exercé sur une boucle fermée =0):
\(W_{A\)\to\(B}(C_1)=W_{A\)\to\(B}(C_2)\) \(\longrightarrow\) Force conservative
\(W_{A\)\to\(B}(C_1)=-W_{B\)\to\(A}(C_1)\)
\(W_{A\)\to\(B}(C_2)=-W_{A\)\to\(B}(C_2)\)
\(W_{A\)\to\(B}(C_1)=-W_{B\)\to\(A}(C_2)\)
\(W_{A\)\to\(B}(C_2)+W_{A\)\to\(B}(C_2)=0\) \(\implies\)pour une force conservative le travail sur une bouvle fermée est nul

\(\vec F =\vec {constante}\)
\(dW= \vec F. D\vec r\)
\(W_{A\)\to\(B}(\vec F)= \int^{B}_A\vec F .d\vec r =\int^{B}_A\vec F .\int^{B}_A d\vec r\)
\(\int^{B}_A d\vec r\)=\(\vec {AB}\)
\(W_{A\)\to\(B}(\vec F)= \vec F .\vec {AB}= ||\vec F||.||\vec {AB}||.cos(\vec F, \vec {AB})\) Exemple: A) le poids
\(W_{A\)\to\(B}(\vec P)= \vec P . \vec {AB}= mg.AB.cos(\vec P,\vec {AB})\)
\(\pi = \alpha + \beta\) \(\Rightarrow\) \(\alpha =\pi-\beta\) B) la froce de rappel du ressort \(\vec {F_r}\)
Origine du repère en \(L_0\)
\(dW=\vec {F_r}. D\vec x\)
\(\to\) \(-kx\vec ex.dx\vecex\)
\(\Rightarrow\) \(dW = -kxdx\)
\(W_{A\)\to\(B}(\vec{F_r})= \int_{xA}^{xB}-kxdx=-k[\frac{x^2}{2}]_{xA}^{xB}= -\frac{k}{2}(x^2_B-x^2_A)\)
\(\Rightarrow\) \(W_{A\)\to\(B}(\vec{F_r})= \frac{k}{2}(x^2_A-x^2_B)\)
\(W_{A\)\to\(B}(\vec{F_r})\gt 0\) si |xA|>|xB|\(\Rightarrow\)Moteur
\(W_{A\)\to\(B}(\vec{F_r})\gt 0\) si |xA|<|xB|\(\Rightarrow\)Resistant